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감쇠 조화 진동자 - 고전역학

저항력을 고려한 진동 앞선 글에서 알아본 선형 조화 진동자는 물체에 훅의 법칙에 의한 복원력만이 작용한다고 생각했어요. 따라서 운동 내내 에너지가 보존되고 영원히 운동을 지속할 수 있지요. 하지만 이는 이론적으로 아름다울지언정 절대 현실적이지 못해요. 어느 운동이던 필연적인 비보존력이 작용하고, 이는 에너지를 손실시키고 진동이 서서히 잦아들게 하지요. 이번 글에서는 저항력, 특히 속도에 비례하는 저항력이 작용하는 경우를 생각해보려 해요. 운동 분석하기 물체에 작용하는 힘은 훅의 법칙에 따른 선형 보존력과 속도에 비례하는 비보존력(저항력)이 있어요. 각각 식 1과 식 2로 표현되지요. $$F=-kx\tag{1}$$ $$F_b=-b\dot{x}\tag{2}$$ 식 2의 - 부호는 속도의 반대방향, 즉 속도를..

선형 조화 진동자 - 고전역학

선형적이고 조화로운 진동자 용수철 상수가 $k$인 용수철에 질량이 $m$인 물체가 매달려서 마찰이 없는 표면 위에서 운동하고 있다고 가정해요. 진폭 $A$는 작아서 훅의 법칙이 성립한다고 생각할게요. 즉, 진동은 선형적이에요. 이때 물체가 받는 힘은 평형점(알짜힘이 영인 지점)에서의 변위 $x$에 대한 식인 식 1로 쓸 수 있어요. $$F=-kx\tag{1}$$ 그리고 퍼텐셜 에너지는 식 2로 쓸 수 있지요. $$U(x)=\frac{1}{2}kx^2\tag{2}$$ 식 1을 뉴턴의 운동 제 2법칙에 대입하면 식 3이 나와요. $$F=-kx=m\dv[2]{x}{t}\tag{3}$$ 우리의 목적은 식 3을 $x(t)$에 대해 풀어내는 것이에요. 우선 상수에 해당하는 $m$과 $k$를 몰고 식을 정리해줘요. ..

선형, 비선형 진동자 - 고전역학

진동자(Oscillator) 이제까지는 다양한 종류의 힘을 받는 운동을 분석해봤다면 이제부터는 많은 글을 할애해서 복원력이라는 힘이 작용하는 운동을 생각해볼 거예요. 복원력은 물체를 기준점으로 되돌려놓으려는 방향으로 작용하는 힘이에요. 가장 간단한 예로 용수철에 매달려서 운동하는 물체를 생각해볼 수 있어요(그림 1). 이 경우 물체는 용수철에 의해 언제나 방향이 기준점을 향하는 힘을 받아요. 따라서 물체는 기준점으로부터 어느 정도 이상으로 멀어지지 않고 일정한 구간을 왕복해서 운동하게 돼요. 선형(Linear) 진동자와 비선형(Nonlinear) 진동자 보존력(변위의 함수인 힘)이 작용하는 질량 $m$의 물체가 있다고 생각해봐요. 그럼 앞선 글에서의 논의에 의해 식 1이 성립해요. $$E=K+U(x)=\..