감쇠 조화 진동자 - 고전역학

저항력을 고려한 진동

앞선 글에서 알아본 선형 조화 진동자는 물체에 훅의 법칙에 의한 복원력만이 작용한다고 생각했어요. 따라서 운동 내내 에너지가 보존되고 영원히 운동을 지속할 수 있지요. 하지만 이는 이론적으로 아름다울지언정 절대 현실적이지 못해요. 어느 운동이던 필연적인 비보존력이 작용하고, 이는 에너지를 손실시키고 진동이 서서히 잦아들게 하지요. 이번 글에서는 저항력, 특히 속도에 비례하는 저항력이 작용하는 경우를 생각해보려 해요.

---

운동 분석하기

물체에 작용하는 힘은 훅의 법칙에 따른 선형 보존력과 속도에 비례하는 비보존력(저항력)이 있어요. 각각 식 1과 식 2로 표현되지요.

$$F=-kx\tag{1}$$

$$F_b=-b\dot{x}\tag{2}$$

식 2의 - 부호는 속도의 반대방향, 즉 속도를 줄이는 방향으로 힘이 작용한다는 뜻이고 $b$는 양의 상수로써 저항력에 대한 상수예요.

따라서 물체에 작용하는 알짜힘($F_{\rm{net}}$)은 식 3처럼 되지요.

$$F_{\rm{net}}=-kx-b\dot{x}\tag{3}$$

뉴턴의 운동 제2 법칙에 대입하고 적당히 이항 하면 식 4가 나와요.

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0\tag{4}$$

이 식은 앞선 글에서도 다루었던 이계 선형 미분방정식이에요. 역시 자세한 풀이법은 생략하고 다음의 결과만을 사용할 거예요.

종속변수가 $x$, 독립변수가 $t$인 이계 선형 미분방정식 $a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$의 일반해는 이것의 특성 방정식인 $ar^2+br+c=0$의 두 근 $r_1$, $r_2$과 상수 $c_1$, $c_2$의 식인 식 5로 나온다.
$$x=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}\tag{5}$$
복소수 지수는 오일러 공식(식 6)으로 처리한다.
$$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\tag{6}$$
그 결과는 특성방정식의 두 근이 $r=a\pm bi$일 때 식 7과 같다($c_1$과 $c_2$가 식 5에서와는 다름).
$$x=e^{at}\left(c_1\sin{bx}+c_2\cos{bx}\right)\tag{7}$$

이를 적용시켜보면 우리의 특성 방정식은 식 8이에요.

$$mr^2+br+k=0\tag{8}$$

그리고 두 근은 근의 공식에 의해서 식 9이지요.

$$r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4mk}}{2m}\tag{9}$$

식 10과 같이 감쇠 계수를 정의하고 식 11과 같이 $\omega$로 치환해서 식 9를 다시 쓰면 특성 방정식의 두 근은 식 12와 같이 다시 쓸 수 있어요.

$$\lambda=\frac{b}{2m}\tag{10}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\tag{11}$$

$$r=-\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-\omega^2}\tag{12}$$

여기서 $r$은 실수일 수도, 허수일 수도 있어요. 해가 실수일 / 중근일 / 허수일 조건은 식 12로부터 명확히 나타나요.

• $\lambda^2 > \omega^2$ → 실근
• $\lambda^2 = \omega^2$ → 중근
• $\lambda^2 < \omega^2$ → 허근

미분방정식을 푸는 데 있어서 이러한 경우를 나누는 것이 크게 의미가 있지는 않아요. 다만 각각의 경우에서 감쇠 진동이 보이는 운동의 양상이 다르기 때문에 각각의 경우로 나누어 운동을 분석하는 것이 좋아요.

그리고 미분방정식의 상수를 모두 알아내려면 2개의 초기 조건이 필요해요. 우리는 $t=0$에서 $x=A$, $\dot{x}=0$이라고 생각합시다.

 

1. $\lambda^2 < \omega^2$인 경우: 저감쇠 진동(underdamped), 진동함

식 12에서 특성 방정식의 두 근을 살펴봤어요. 이를 순허수단위 $i$를 사용해서 다시 쓰면 식 13과 같아요.

$$r=-\lambda\pm i\sqrt{\omega^2-\lambda^2}\tag{13}$$

그리고 허수인 경우의 일반해인 식 7에 대입하게 되면 식 14가 되지요.

$$x=e^{-\lambda t}\left(c_1 \sin{\left(\sqrt{\omega^2-\lambda^2}t\right)}+c_2\cos{\left(\sqrt{\omega^2-\lambda^2}t\right)}\right)\tag{14}$$

식을 간단히 하기 위해 우선 다음과 같이 치환할게요.

$$\sqrt{\omega^2-\lambda^2}=\gamma$$

그러면 식 14는 식 15로 다시 쓸 수 있지요.

$$x=e^{-\lambda t}\left(c_1 \sin{\gamma t}+c_2\cos{\gamma t}\right)\tag{15}$$

식 15를 미분하면 식 16이죠.

$$\dot{x}=e^{-\lambda t}\left(\left(c_1\gamma-c_2\lambda\right)\cos{\gamma t}-\left(c_2\gamma+c_1\lambda\right)\sin{\gamma t}\right)\tag{16}$$

초기조건을 대입하면 다음과 같이 상수를 정할 수 있어요.

$$c_1=\frac{A\lambda}{\gamma}$$

$$c_2=A$$

이를 다시 식 15에 대입하면 식 17이 나오지요.

$$x=Ae^{-\lambda t}\left(\frac{\lambda}{\gamma}\sin{\gamma t}+\cos{\gamma t}\right)\tag{17}$$

식 17은 다음 삼각함수의 합성을 사용해서 하나의 삼각함수로 묶을 수 있어요.

$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\alpha)}$
여기서 $\alpha$는 $\sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$이게 하는 값
또는
$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta+\alpha)}$
여기서 $\alpha$는 $\sin{\alpha}=-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\cos{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$이게 하는 값

그 결과는 식 18과 같아요.

$$x=A\sqrt{\frac{\omega^2}{\omega^2-\lambda^2}}e^{-\lambda t}\cos{\left(\gamma t+\phi\right)}\tag{18}$$

여기서 $\phi$는 삼각함수의 합성을 사용해서 식 19와 같음을 알 수 있어요.

$$\cos{\phi}=\frac{1}{\sqrt{\lambda^2/\gamma^2 +1}}$$

$$\cos{\phi}=\sqrt{\frac{\omega^2-\lambda^2}{\omega^2}}$$

$$\cos{\phi}=\frac{\gamma}{\omega}\tag{19}$$

식 18을 시간에 대한 변위 그래프로 나타내면 그래프 1과 같아요.

위키피디아

시간이 지날수록 진폭이 감소하고 변위는 영에 가까워져요. 이는 식 18을 분석함으로써도 알 수 있지요. 식 18은 다음과 같이 3가지 부분으로 나누어서 생각할 수 있어요,

• 상수인 $A\sqrt{\frac{\omega^2}{\omega^2-\lambda^2}}$
• 시간의 함수인 지수함수 $e^{-\lambda t}$
• 시간의 함수인 삼각함수 $\cos{\left(\gamma t+\phi\right)}$

상수 함수는 크게 중요하지 않고 지수함수와 삼각함수 부분을 생각해보면 삼각함수는 일정한 주기로 -1부터 1 사이를 진동할 텐데 지수함수는 그 일정한 진폭을 감쇠 진동에 맞게 조절하는 것이라고 생각할 수 있어요. 이렇게 생각해보면 진동의 마루끼리, 골끼리 이은 파란색 그래프는 삼각함수가 1 또는 -1일 때로 지수함수임을 알 수 있지요. 즉, 진폭은 지수적으로 감소해요.

식 18을 보다 깊게 분석하기 전에 우선 식 18을 식 19로 다시 쓸게요. 상수 부분을 문자 $a$로 치환한 거예요.

$$x=ae^{-\lambda t}\cos{\left(\gamma t+\phi\right)}\tag{19}$$

 

식 19에서 $\gamma$는 선형 조화 진동으로 치면 각속도로 생각할 수 있어요. 또한 $T=2\pi/\gamma$는 주기로 생각할 수 있지요. 하지만 이러한 값들은 진정한 의미의 각속도와 주기가 아니에요. 물체는 절대 같은 변위를 같은 속도로 다시 통과하는 일이 없기 때문이지요. 즉, 감쇠 진동은 주기적이지 않아요. 또한 $\gamma$의 값은 항상 $\omega$의 값보다 작아요. 즉, 저항력이 없는 선형 조화 진동의 경우보다 한 주기가 길어진다는 뜻이지요. 하지만 만약 $\lambda$가, 즉 감쇠 계수가 매우 작다면($\lambda \approx 0$) $\gamma$와 $\omega$는 근사해요($\lambda\approx\omega$).

또한 감쇠 계수($\lambda$)의 값에 따라 진동이 감쇠되는 정도가 달라요. 그래프 1-1과 그래프 1-2를 비교해봐요.

그래프 1-1. 감쇠 계수가 큰 경우

그래프 1-2. 감쇠 계수가 작은 경우

감쇠 계수가 큰 경우가 진동이 더 빠르게 멈추지요. 이는 진동의 마루를 이은 그래프가 지수함수를 따른다는 앞선 분석에서 쉽게 이해할 수 있어요.

감쇠 계수와 최댓값의 주기를 곱한 값을 감쇠율(decrement)라고 하기도 해요. 즉, 감쇠율 $\delta$는 식 20과 같이 정의돼요. $T$는 변위의 최댓값이 나타난 후 다음 최댓값까지 걸린 시간이에요.

$$\delta=\lambda T\tag{20}$$

 

2. $\lambda^2 \geq \omega^2$인 경우, 진동하지 않음

반면 근이 실수가 나올 수도 있어요. $\lambda \geq \omega$인 경우인데 이는 다시 두 가지로 나뉘어요.

• $\lambda=\omega$인 경우 임계 감쇠(critically damped)
• $\lambda>\omega$인 경우 과감쇠(overdamped)

두 가지는 풀이법과 해석법이 비슷해요. 특성 방정식의 두 실근은 식 9대로 이고, 다음과 같은 치환을 사용할 거예요.

$$\gamma=\sqrt{\lambda^2-\omega^2}$$

이를 일반해에 대입한 결과는 식 21과 같아요.

$$x=c_1e^{\left(-\lambda+\gamma\right)t}+c_2e^{\left(-\lambda-\gamma\right)t}$$

$$x=e^{-\lambda t}\left(c_1e^{\gamma t}+c_2e^{-\gamma t}\right)\tag{21}$$

그리고 식 21을 미분하면 식 22가 나오지요.

$$\dot{x}=e^{-\lambda t}\left(c_1\left(\gamma-\lambda\right)e^{\gamma t}-c_2\left(\gamma+\lambda\right)e^{-\gamma t}\right)\tag{22}$$

그리고 여기서 임계 감쇠인 경우, 과감쇠인 경우로 나뉘지요.

 

1. 과감쇠 ($\lambda > \omega$, $\gamma \neq 0$)

식 21과 식 22에 초기조건을 대입하면 다음과 같이 상수를 구할 수 있어요.

$$c_1=\frac{A\left(\gamma+\lambda\right)}{2\gamma}$$

$$c_2=\frac{A\left(\gamma-\lambda\right)}{2\gamma}$$

상수를 식 21에 대입하면 식 23이 나오지요.

$$x=\frac{A}{2\gamma}e^{-\lambda t}\left(\left(\gamma+\lambda\right)e^{\gamma t}+\left(\gamma-\lambda\right)e^{-\gamma t}\right)\tag{23}$$

식 23은 여러 개의 지수함수가 덧셈과 곱셈으로 연결되어 있으며, 직관적으로 진동하는 형태의 그래프가 나오지는 않을 것으로 보여요. 이 식의 그래프는 그래프 2와 같아요.

진동하지 않고 원점을 향해서 한 방향으로 이동하고만 있어요. 첫 번째 경우에서는 (물론 엄밀한 의미의 각속도는 아니지만) $\gamma$를 일종의 각속도로 생각할 명분이 있었지만 여기서는 전혀 그럴 수 없지요. 진동이 아니라 한 방향으로의 운동일뿐이니까요. 이름이 과감쇠 진동이 아니라 그냥 과감쇠인것도 이 이유예요.

 

2. 임계 감쇠 ($\lambda = \omega$, $\gamma = 0$)

역시 이름이 임계 감쇠 진동이 아니라 임계 감쇠네요. 아마도 진동하지 않나 보죠?

식 21을 $\gamma=0$을 사용해서 다시 쓰면 식 22가 돼요.

$$x=\left(c_1+c_2\right) e^{-\lambda t}\tag{22}$$

그런데 식 22는 오직 하나의 상수($c_1+c_2$)만을 포함하고 있어요. 즉, 이것은 우리가 원하는 일반해가 아니에요. 사실 해가 중근인 경우 미분방정식의 풀이에 있어서 이런 사항을 고려해야 하며, 이를 고려한 일반해는 다음과 같아요.

이계 선형 미분방정식
$$a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$$
중 $b^2-4ac=0$인 경우(중근인 경우) 일반해는 이것의 특성 방정식의 해인 $r$과 두 상수 $c_1$, $c_2$가 존재하여 식 23과 같다.
$$x=\left(c_1+tc_2\right)e^{rt}\tag{23}$$

이 결론을 가지고 다시 미분방정식을 풀게요. 중근이 $-\lambda$가 되니까 대입하면 식 24예요.

$$x=\left(c_1+tc_2\right)e^{-\lambda t}\tag{24}$$

식 24를 미분하면 식 25이고요.

$$\dot{x}=\left(-\lambda c_1-\lambda tc_2+c_2\right)e^{-\lambda t}\tag{25}$$

식 24와 식 25에 초기 조건을 대입하면 다음과 같이 상수를 정할 수 있어요.

$$c_1=A$$

$$c_2=A\lambda$$

이를 식 24에 대입하면 식 26이 나오지요.

$$x=A\left(1+\lambda t\right)e^{-\lambda t}\tag{26}$$

그래프 3

이 식의 그래프는 그래프 3과 같아요. 역시 진동하지 않고 원점을 향해서 한 방향으로 움직이고 있어요.

---

결론

이번 글에서는 미분방정식을 사용하여 감쇠 조화 진동을 해석했어요. 그 결과 진폭이 줄어드는 운동을 관찰할 수 있었고, 어떤 경우에는 진동 자체를 하지 않았어요. 선형 조화 진동은 에너지를 보존하는 것과는 달리 감쇠 조화 진동은 에너지가 보존되지 않아요. 에너지가 감소하지요. 이는 진동이 끝내 정지하게 해요. 이를 극복하려면 외력이 필요해요. 다음 글에서는 감쇠 조화 진동에 외력의 영향을 더한 강제 조화 진동에 대해 알아봐요!