선형, 비선형 진동자 - 고전역학

진동자(Oscillator)

이제까지는 다양한 종류의 힘을 받는 운동을 분석해봤다면 이제부터는 많은 글을 할애해서 복원력이라는 힘이 작용하는 운동을 생각해볼 거예요. 복원력은 물체를 기준점으로 되돌려놓으려는 방향으로 작용하는 힘이에요. 가장 간단한 예로 용수철에 매달려서 운동하는 물체를 생각해볼 수 있어요(그림 1).

그림 1

이 경우 물체는 용수철에 의해 언제나 방향이 기준점을 향하는 힘을 받아요. 따라서 물체는 기준점으로부터 어느 정도 이상으로 멀어지지 않고 일정한 구간을 왕복해서 운동하게 돼요.

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선형(Linear) 진동자와 비선형(Nonlinear) 진동자

보존력(변위의 함수인 힘)이 작용하는 질량 $m$의 물체가 있다고 생각해봐요. 그럼 앞선 글에서의 논의에 의해 식 1이 성립해요.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E=K+U(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\end{array}$$

여기서 $K$는 운동 에너지, $U(x)$는 퍼텐셜 에너지 함수예요. 식 1에 운동에너지에 대한 식을 대입하고 속도($\dot{x}$)에 대해 정리하면 식 2가 나와요.

$$E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+U(x)$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \dot{x}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}\end{array}$$

그래프 1

자, 이제 물체가 그래프 1에서 나타나는 $x_1{x}_2$ 사이의 퍼텐셜 우물에서 진동하고 있다고 생각해보죠.

 

만약 $E=E_0$인 경우 식 2에 대입한 결과 $v=0$, 즉 물체는 움직이지 않아요. 물체는 평형상태에 있으며 정지해있죠.

하지만 약간 에너지를 줘서 $E=E_1$인 경우 $x=x_1,x_2$인 경우 $U(x)=0$이고 퍼텐셜 우물 안에서는 $v>1$이에요. 즉 물체가 운동한다는 뜻이지요. 또한 $x_0$에서 $x_1$으로 이동하는 물체는 물체를 $x_0$로 되돌려 놓으려는 힘이 작용하고 결국 $x_2$에서 정지했다가 다시 $x_0$ 방향으로 떨어져요. 그리고 어느 정도 속도를 가지고 $x_0$를 통과한 물체는 다시 $x_1$을 향해 올라갔다가 $x_0$로 떨어지고... 이를 반복하며 물체는 퍼텐셜 우물 속에서 끊임없이 주기적인 운동을 반복해요.

 

물체의 정확한 위치를 알기 위해 식 2를 적분할 수 있어요. 변수를 분리하고 $t_1$, $x_1$부터 $t_2$, $x_2$까지 적분하면 식 3이 나오지요. 각 물리량의 아랫 첨자 1, 2는 물체가 $x_1$에 있을 때, $x_2$에 있을 때의 물리량이라는 뜻이에요.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{E-U(x)}}=t_2-t_1\end{array}$$

한편 운동의 한 주기는 $2(t_2-t_1)$이므로 식 4와 같이 쓸 수 있어요.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& T=2(t_2-t_1)=\sqrt{2m}{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{E-U(x)}}\end{array}$$

식 3과 4는 물체의 진동에 대해 꽤 많은 것을 알려주지만 아직 $U(x)$에 대한 정보가 부족하기 때문에 실질적인 시간에 따른 위치나 운동의 주기를 구할 수는 없어요. 사실 함수 $U(x)$는 꽤나 복잡하기 주어질 때가 많아서 합리적인 선에서 근사를 해서 사용하는 것이 좋아요. 함수 $U(x)$를 $U(x)$가 최소가 되는 $x_0$ 근방에 대해 테일러 전개를 적용하면 식 5가 나와요.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& U(x)=U(x_0)+{\left(\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}\right)}_{x=x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}U}{\mathrm{d}{x}^2}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^2+\frac{1}{6}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{3}U}{\mathrm{d}{x}^3}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^3+\frac{1}{24}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{4}U}{\mathrm{d}{x}^4}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^4\end{array}$$

앞선 글에서 그랬듯이 퍼텐셜 에너지 함수의 값 하나는 임의로 지정해줄 수 있어요. 여기서는 $U(x_0)=0$으로 잡죠. 또한 진동이 좌우 대칭적이라면 퍼텐셜 에너지 함수는 우함수여야 하므로 식 5에서 홀수차항에 해당하는 다음 항이 영이어야 함을 알 수 있어요.

$${\left(\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}\right)}_{x=x_0}(x-x_0)={\left(\frac{{\mathrm{d}}^{3}U}{\mathrm{d}{x}^3}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^3=\cdots =0$$

 

1. 선형 진동자

물체가 $x_0$ 근방에서 운동한다면 테일러급수에서 삼차항까지만 고려해도 좋아요. 그렇게 되면 0차, 1차, 3차항은 앞서 말한 이유에 의해 모두 0으로 사라지고 실질적으로 고려할 부분은 이차항만이 돼요. 그리고 앞으로의 논의를 간단히 하기 위해 $x_0=0$으로 가정할게요. 이는 퍼텐셜 에너지 함수를 평행이동하면 되는 문제이므로(즉, 퍼텐셜 에너지 함수의 원점을 설정하는 문제이므로) 이렇게 해도 결과에는 영향을 주지 않아요. 이렇게 하면 식 6으로 퍼텐셜 에너지 함수가 근사돼요.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2\end{array}$$

여기서 $k={\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}U}{\mathrm{d}{x}^2}\right)}_{x=0}$이예요. 아직 이 상수에 이름을 붙여주진 않았지만 나중에 이 식을 재사용하면서 용수철 상수라는 근사한 이름을 붙여줄 거예요. 한편 퍼텐셜 에너지 함수와 힘 사이에는 식 7의 관계가 성립하므로 식 8로 물체에 작용하는 힘을 구할 수 있지요.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& F(x)=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& F(x)=-kx\end{array}$$

식 6과 8은 진동하는 물체가 퍼텐셜 에너지가 영이 되는 지점에서 그리 멀리 움직이지 않는 경우 합리적인 근사를 제공해요.

한편 퍼텐셜 에너지 함수가 퍼텐셜 우물을 만들기 위해서는 퍼텐셜 에너지 함수가 아래로 볼록한 형태여야 해요. 즉, $U(x)$의 이계도함수가 양수여야 하지요. 따라서 식 9의 관계가 성립해요.

$$0<{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}U}{\mathrm{d}{x}^2}\right)}_{x=0}=k$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& k>0\end{array}$$

이를 식 8과 관련지어 생각해보면 힘은 항상 변위의 반대방향, 즉 변위를 상쇄하는 방향으로 작용한다는 결론을 얻어요. 이렇게 진동 중심으로 향하는 변위의 일차함수인 힘을 선형 복원력이라고 해요. 또한 변위에 대한 퍼텐셜 에너지 함수와 힘의 함수가 식 6과 8을 따르는 것을 두고 "훅의 법칙(Hooke's law)"을 따른다고 하지요. 대표적으로 용수철, 진자, 고무줄 등이 의 법칙에 따라 근사돼요. 그래프 2는 용수철이 늘어난 길이에 따른 탄성력을 나타낸 것이에요.

그래프 2

그래프 2에서 특정한 한 점까지 단위길이당 증가한 탄성력의 양은 일정해요. 즉, 훅의 법칙에 따라 일차함수이지요. 하지만 늘어난 길이가 긴 경우 늘어난 길이에 비례하여 탄성력이 증가하지 않아요. 이는 근사가 합리적인 구간을 벗어났기 때문이에요. 이 현상은 실험에서 이따금 오차를 초래하기도 해요. 용수철이 늘어날 때 얼마 늘어나지 않았을 때는 근사가 잘 들어맞지 않기 때문에 훅의 법칙이 들어맞지 않기도 하기 때문이지요.

 

2. 비선형 진동자

만약 진동 중심에서 물체의 변위가 무시할 수 없을 정도로 커서 일차항만으로는 근사가 완전하지 못하다면 우리는 식 5에서 사차항, 육차항... 도 근사에 포함시켜야 해요. 만약 사차항을 퍼텐셜 에너지 함수 근사에 포함시킨다면 퍼텐셜 에너지 함수는 식 10이 되고, 힘은 식 11이 돼요.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& U(x)=\frac{1}{2}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}U}{\mathrm{d}{x}^2}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^2+\frac{1}{24}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{4}U}{\mathrm{d}{x}^4}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^4\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& F(x)=-kx-ϵx^3\end{array}$$

식 11에서 $k$와 $ϵ$이 뭘 의미하는지는 알겠죠? 이렇게 되면 힘은 삼차항의 존재로 인해 더 이상 선형적이지 않아요. 그리고 운동의 분석이 매우 더러워지죠. 비선형 진동의 분석은 선형 진동을 먼저 분석한 후에 다룰 예정이에요.

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결론

이번 글에서는 진동을 시작하면서 간단하게(?) 선형 진동자와 비선형 진동자에 대해 알아보면서 퍼텐셜 에너지와 진동을 연결시켜서 생각해봤어요. 다음 글부터는 선형 진동자부터 시작해서 여러 진동자에 대해 알아볼 거예요!