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감쇠 조화 진동자 - 고전역학

저항력을 고려한 진동 앞선 글에서 알아본 선형 조화 진동자는 물체에 훅의 법칙에 의한 복원력만이 작용한다고 생각했어요. 따라서 운동 내내 에너지가 보존되고 영원히 운동을 지속할 수 있지요. 하지만 이는 이론적으로 아름다울지언정 절대 현실적이지 못해요. 어느 운동이던 필연적인 비보존력이 작용하고, 이는 에너지를 손실시키고 진동이 서서히 잦아들게 하지요. 이번 글에서는 저항력, 특히 속도에 비례하는 저항력이 작용하는 경우를 생각해보려 해요. 운동 분석하기 물체에 작용하는 힘은 훅의 법칙에 따른 선형 보존력과 속도에 비례하는 비보존력(저항력)이 있어요. 각각 식 1과 식 2로 표현되지요. $$F=-kx\tag{1}$$ $$F_b=-b\dot{x}\tag{2}$$ 식 2의 - 부호는 속도의 반대방향, 즉 속도를..

선형 조화 진동자 - 고전역학

선형적이고 조화로운 진동자 용수철 상수가 $k$인 용수철에 질량이 $m$인 물체가 매달려서 마찰이 없는 표면 위에서 운동하고 있다고 가정해요. 진폭 $A$는 작아서 훅의 법칙이 성립한다고 생각할게요. 즉, 진동은 선형적이에요. 이때 물체가 받는 힘은 평형점(알짜힘이 영인 지점)에서의 변위 $x$에 대한 식인 식 1로 쓸 수 있어요. $$F=-kx\tag{1}$$ 그리고 퍼텐셜 에너지는 식 2로 쓸 수 있지요. $$U(x)=\frac{1}{2}kx^2\tag{2}$$ 식 1을 뉴턴의 운동 제 2법칙에 대입하면 식 3이 나와요. $$F=-kx=m\dv[2]{x}{t}\tag{3}$$ 우리의 목적은 식 3을 $x(t)$에 대해 풀어내는 것이에요. 우선 상수에 해당하는 $m$과 $k$를 몰고 식을 정리해줘요. ..

선형, 비선형 진동자 - 고전역학

진동자(Oscillator) 이제까지는 다양한 종류의 힘을 받는 운동을 분석해봤다면 이제부터는 많은 글을 할애해서 복원력이라는 힘이 작용하는 운동을 생각해볼 거예요. 복원력은 물체를 기준점으로 되돌려놓으려는 방향으로 작용하는 힘이에요. 가장 간단한 예로 용수철에 매달려서 운동하는 물체를 생각해볼 수 있어요(그림 1). 이 경우 물체는 용수철에 의해 언제나 방향이 기준점을 향하는 힘을 받아요. 따라서 물체는 기준점으로부터 어느 정도 이상으로 멀어지지 않고 일정한 구간을 왕복해서 운동하게 돼요. 선형(Linear) 진동자와 비선형(Nonlinear) 진동자 보존력(변위의 함수인 힘)이 작용하는 질량 $m$의 물체가 있다고 생각해봐요. 그럼 앞선 글에서의 논의에 의해 식 1이 성립해요. $$E=K+U(x)=\..

위치의 함수인 힘이 작용하는 운동의 분석

작용하는 힘이 상수. $F=\mathrm{constant}$ 작용하는 힘이 시간의 함수. $F=F(t)$ 작용하는 힘이 속도의 함수. $F=F(v)$ 작용하는 힘이 위치의 함수. $F=F(x)$ 역학적 에너지 보존법칙 다른 3개 챕터와는 제목이 다르죠? 만약에 물체에 작용하는 힘이 위치의 함수인 경우에는, 정확히는 위치의 함수인 힘만이 물체에 일을 하는 경우에는 역학적 에너지 보존이라는 매우 매우 중요한 법칙이 성립해요. 역학적 에너지 보존은 식 (1)로 간단히 요약될 수 있어요. $$K+U=\rm{constant}\tag{1}$$ 즉, 물체의 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이 일정하다는 의미예요. 우선 이 식을 증명해볼게요. 우리가 다루는 힘은 위치의 함수이니 식 (2)처럼 쓸 수 있어요. $$F=F(..

속도의 함수인 힘이 작용하는 운동의 분석

작용하는 힘이 상수. $F=\mathrm{constant}$ 작용하는 힘이 시간의 함수. $F=F(t)$ 작용하는 힘이 속도의 함수. $F=F(v)$ 작용하는 힘이 위치의 함수. $F=F(x)$ 일반적인 식 유도하기 이번 글에서는 3번째 경우, 작용하는 힘이 속도의 함수인 경우를 다루어 볼 거예요. 이러한 예시는 유체에 의한 항력을 받는 물체에서 주로 관찰할 수 있는 상황이지요. 뉴턴의 운동법칙에서 식 (1)과 같이 시간의 함수인 힘 $F(v)$에 대해 쓸 수 있어요. $$F(v)=m\dv{v}{t}\tag{1}$$ 식 (1)에서 $\dv*{v}{t}$는 식 (2)와 같이 체인룰을 적용하고 $v=\dv*{x}{t}$를 대입해서 나타낼 수 있어요. (참고. 체인룰: $\dv{a}{b}=\dv{a}{v}\d..

시간의 함수인 힘이 작용하는 운동의 분석

작용하는 힘이 상수. $F=\mathrm{constant}$ 작용하는 힘이 시간의 함수. $F=F(t)$ 작용하는 힘이 속도의 함수. $F=F(v)$ 작용하는 힘이 위치의 함수. $F=F(x)$ 일반적인 식 유도하기 이번 글에서는 2번째 경우, 작용하는 힘이 시간의 함수인 경우를 다루어 볼 거예요. 뉴턴의 운동법칙에서 식 (1)과 같이 시간의 함수인 힘 $F(t)$에 대해 쓸 수 있어요. $$F(t)=ma=m\dv{v}{t}\tag{1}$$ $$F(t)\dd t=m\dd v$$ $t=0$에서 $v=v_0$, $t=t$에서 $v=v$로 설정하면 $$\int_0^t{F(t)\dd t}=m\int_{v_0}^v{\dd v}$$ 적분하고 양변을 $m$으로 나누면 식 (2)가 돼요. 이때 작용하는 힘이 상수인 경..

상수인 힘이 작용하는 운동의 분석

이전 글에서 뉴턴의 운동법칙을 알아봤어요. 이번 글부터 몇 개 글 동안 어떤 변수의 함수인 힘이 작용할 때 물체가 어떻게 운동하는지 분석할 거예요. 우선 운동의 종류는 다음과 같이 여러 가지가 있어요. 작용하는 힘이 상수. $F=\mathrm{constant}$ 작용하는 힘이 시간의 함수. $F=F(t)$ 작용하는 힘이 속도의 함수. $F=F(v)$ 작용하는 힘이 위치의 함수. $F=F(x)$ 물론 위 네 가지를 모두 포함하는 한 가지 경우는 식 (1)과 같아요. 여기서 $\dot{x}=dx/dt=v$에요. 위의 점 하나는 시간에 대해 한번 미분했다는 뜻이지요. $$F=F(x,\;\dot{x},\;t)\tag{1}$$ 물론 이 식을 당장 분석하기에는 복잡해요. 그래서 특수한 몇 가지 경우만 논의해봅시다...

뉴턴의 운동법칙 - 고전역학

일상적인 물체의 움직임을 분석하는 학문 고전역학(Classical Mechanics)은 우리가 주변에서 쉽게 접할 수 있는 물체의 움직임을 다루는 학문이에요. 너무 무겁지도, 너무 빠르지도, 너무 작지도, 너무 크지도 않은 물체의 운동을 분석하는 데 사용되는 학문이지요. 고전역학은 뉴턴에 의해 완성된 뉴턴 역학과 조제프 루이 라그랑주와 윌리엄 로원 해밀턴이 각각 만든 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 모두 일컫는 말이에요. 뉴턴역학은 $\vb{F}=m\vb{a}$로 대표돼요. 힘은 가속도를 만들고, 가속도는 물체가 움직이게 한다는 인과론적 세계관을 취하고 있지요. 과거부터 철저히 원인-결과로 이어진 사건들로 미래를 예측하는 거죠. 한편 라그랑주 역학이나 해밀턴 역학은 "자연은 액션을 최소화한다"라는 최소 작..