뉴턴의 운동법칙 - 고전역학

일상적인 물체의 움직임을 분석하는 학문

고전역학(Classical Mechanics)은 우리가 주변에서 쉽게 접할 수 있는 물체의 움직임을 다루는 학문이에요. 너무 무겁지도, 너무 빠르지도, 너무 작지도, 너무 크지도 않은 물체의 운동을 분석하는 데 사용되는 학문이지요.

고전역학은 뉴턴에 의해 완성된 뉴턴 역학과 조제프 루이 라그랑주와 윌리엄 로원 해밀턴이 각각 만든 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 모두 일컫는 말이에요.

 

뉴턴역학은 $\vb{F}=m\vb{a}$로 대표돼요. 힘은 가속도를 만들고, 가속도는 물체가 움직이게 한다는 인과론적 세계관을 취하고 있지요. 과거부터 철저히 원인-결과로 이어진 사건들로 미래를 예측하는 거죠.

 

한편 라그랑주 역학이나 해밀턴 역학은 "자연은 액션을 최소화한다"라는 최소 작용의 원리에 의거해요. 그러니 우주는 마치 신이 최적화를 해놓은 것처럼 작동해서 물체가 운동할 수 있는 수많은 경로 중 물체가 택하는 경로는 "액션"이 최소가 되게 하는 경로라는 생각입니다. 이를 "최소 작용의 원리"라고 해요. 최소작용의 원리는 고전역학뿐만 아니라 현대 물리학에도 자주 애용되는 개념이에요.

 

우리는 우선 뉴턴의 방식인 인과론적 세계관을 따라가 볼 거예요. 뉴턴은 주변에서 볼 수 있는 물체들의 움직임을 관찰한 결과와 직관에 의거하여 모든 물체의 운동이 3가지 법칙을 따른다는 사실을 알아냈어요. 이걸 뉴턴의 운동법칙이라고 하지요.

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뉴턴의 운동법칙

두 물체가 상호작용합니다. 두 물체는 완벽히 고립되어 있어 다른 물체는 이 물체와 상호작용하지 못하고 오직 두 물체만이 서로에게 상호작용할 수 있어요. 여기서 상호작용이란 물체끼리 (아직까지는) 알 수 없는 원리로 서로의 운동 상태를 변화시키는 것이에요. 가능한 모든 관측과 실험에서 물체가 바뀌지 않는 한 두 물체의 가속도는 다음과 같이 방향이 반대이고 일정한 비율을 이루는 것이 관찰되었어요.

$$-K_{BA}=\frac{a_A}{a_B}$$

또는

$$-K_{AB}=\frac{a_B}{a_A}$$

이 식에서 $K$는 비율이기 때문에 그 비율을 다음과 같이 적을 수 있어요.

$$K_{BA}=\frac{m_B}{m_A}$$

여기서 $m$을 "질량(혹은 관성 질량)"이라고 정의하죠. 물체가 바뀌지 않는 한 $K$ 값도 바뀌지 않고 따라서 $m$도 변하지 않으므로 우리는 $m$이 물체 둘의 고유한 성질이라고 할 수 있어요.

$K_{BA}$에 대한 두 식을 서로 합쳐주면 다음 식이 나와요.

$$-\frac{a_A}{a_B}=\frac{m_B}{m_A}$$

$$m_Aa_A=-m_Ba_B$$

즉, 상호작용의 결과는 질량과 가속도라는 두 물체에 대한 물리량의 곱인 무언가가 운동 상태를 변화시켜서 일어난다는 걸 알 수 있습니다. 이를 힘이라고 정의하죠. 그러면

$$F_A=m_Aa_A$$

$$F_B=m_Ba_B$$

이고

$$F_A=-F_B$$

이에요. 이는 두 물체가 받는 힘이 크기가 같고 방향이 반대임을 말합니다. 즉, 상호작용의 결과로 생긴 힘은 항상 크기가 같고 방향이 반대인 힘과 쌍으로 존재하며, 홀로 존재하는 힘은 존재하지 않는다는 법칙, 작용 반작용의 법칙을 이끌어 내지요. 또한 이상의 논의를 일반화하면 다음과 같아요.

$$\vb{F}=m\vb{a}$$

즉, 상호작용의 결과인 운동의 변화를 이끌어내는 주체인 힘은 가속도와 물체의 고유한 양인 질량의 곱이라는 거예요.

 

한편 운동량을 사용해서 이 식을 다시 쓸 수도 있어요. 운동량은 다음과 같이 정의되는데

$$\vb{p}=m\vb{v}$$

뉴턴의 제2 운동법칙, 운동량의 변화량은 힘으로 정의된다. 즉

$$\vb{F}=\dv{\vb{p}}{t}$$

이에요. 만약 운동속도가 빛의 속도에 비해 매우 느리다면 속도에 따라 변화하는 물체의 관성 질량은 무시할만해요. 그래서 물체의 질량 변화가 없다고 가정한다면

$$\vb{F}=\dv{t}(m\vb{v})=m\dv{\vb{v}}{t}=m\vb{a}$$

으로 앞서 유도한 식을 다시 유도해 낼 수 있어요.

 

이제 뉴턴의 운동법칙을 소개하죠.

1. 관성의 법칙. 힘을 받지 않은 물체는 자신의 운동 상태를 유지한다.

즉 움직이는 물체는 계속 움직이려 하며, 움직임을 멈추려면 오히려 힘이 필요하다는 거예요. 수식적으로 보면 제1법칙은 제 2법칙에서 $\mathbf{F}=0$인 특수한 경우로 볼 수 있어요.

하지만 제 1법칙은 단순히 힘이 없으면 가속도 없다로 끝이 아니에요. 가령 급커브 하는 차 안에서는 힘을 받지 않음에도 우리는 가속을 경험하지요. 관성의 법칙은 우리가 이러한 가상의 힘(겉보기 힘)을 경험하는 이유를 관성계와 비관성계라는 개념으로 설명해요. 그리고 아래에 나오는 2, 3법칙이 성립할 조건인 관성계가 무엇인지 정의하지요. 만약 관성의 법칙이 성립하지 않는 계가 있다면 그곳에서는 가속도의 법칙도, 작용 반작용의 법칙도 성립하지 않아요.

2. 가속도의 법칙. $\vb{F}=m\vb{a}$

관성좌표계에서 힘은 가속도를 만든다는 법칙이에요. 즉, 힘이 물체의 운동의 근본적인 원인이라고 말하지요.

3. 작용 반작용의 법칙. $$\vb{F}_A=-\vb{F}_B$$

겉보기 힘이 아닌 상호작용의 결과인 힘은 항상 쌍으로 존재하며 그 쌍은

• 크기가 같고
• 방향은 반대이며
• 작용하는 물체가 다르기 때문에 더해서 상쇄될 수 없다

는 성질을 가져요.

 

그런데 뉴턴의 운동법칙은 관성계, 즉 등속으로 운동하거나 정지해 있는 좌표계 안에서만 성공적으로 적용될 수 있습니다. 만약 좌표계가 가속 운동을 한다면요? 안타깝게도 그때는 뉴턴의 운동법칙이 적용되지 않습니다. 하지만 비슷한 방법으로 해석할 수는 있지요.

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비관성계를 해석하기

두 좌표계 A, B가 있습니다. A는 관성계이고 정지해 있으며, B는 비관성계이고 가속하고 있어요. 비관성계 B에는 물체 X가 있는데 X는 B와 함께 가속하고 있어요. 이때 관성계 A에 대해 정지한 관찰자 A와 비관성계 B에 대해 정지한 관찰자 B가 같이 X를 본다면 각각은 X의 운동을 어떻게 분석할까요?

물체 X의 질량이 $M$이라고 가정하고 A에서 X까지 거리는 $X_A$, B에서 X까지 거리는 $X_B$, A와 B의 거리는 $X$라고 하죠. 그럼 관측자 A와 B가 보기에 물체 X가 받는 힘은

$$F_A=Ma_A$$
$$F_B=Ma_B$$

여기서 $a_A$와 $a_B$는 각각 A, B에서 본 X의 가속도예요. 한편

$$X_A=X_B+X$$

에서 양 변을 시간에 대해 두 번 미분하면

$$\ddot{X_A}=\ddot{X_B}+\ddot{X}$$

양변에 $M$을 곱하면

$$M\ddot{X_A}=M\ddot{X_B}+M\ddot{X}$$

$$F_A=F_B+M\ddot{X}$$

한편 A는 관성계이기 때문에 A가 관측한 힘은 진짜 힘으로 생각할 수 있어요. 따라서

$$F_A=F_{\mathrm{true}}=M\ddot{X_A}$$

이고 B는 비관성계이므로 진짜 힘이 아니기 때문에

$$F_B=F_{\mathrm{appt}}=M\ddot{X_B}$$

로 쓰면

$$F_{\mathrm{appt}}=F_{\mathrm{true}}-M\ddot{X}$$

이에요. 즉, B가 보기에 B는 X가 받는 진짜 힘 외에도 $-M\ddot{X}$에 해당하는 어떤 힘을 받는 것 처럼 보게 돼요. $-M\ddot{X}$의 의미를 분석해보면 이 힘은 A에 대한 B의 가속도에 물체 $X$의 질량인 $M$을 곱한 것과 같고 방향은 B의 가속도의 반대이네요. 이렇게 비관성계는 좌표계의 가속에 의해 실제로 존재하지 않는 힘인 겉보기힘을 받아요. 이 겉보기 힘은 상호작용에 의한 진짜 힘이 아니기 때문에 작용 반작용도 존재하지 않지요.

다만 해석상의 편의를 위해 이러한 겉보기 힘을 진짜 힘처럼 취급할 수는 있어요. 진짜 힘처럼 봐도 뉴턴의 제2법칙과 식의 형태가 같고 그렇게 해석했을 때 결과는 정확히 일치하거든요. 하지만 그 본질은 관성계와 비관성계의 차이로 인한 힘이에요.

 

이걸 원판 위에서 회전하고 있는 공에 적용시켜볼게요. 공은 원판 위에서 정지해있고, 원판 위에는 관측자 A가, 원판 밖에서는 관측자 B가 있어요. 원은 일정한 각속도 $\omega$로 회전하고 있고 물체는 회전 중심에서 $r$ 만큼 떨어져 있어요.

두 관측자가 공을 보고 있습니다. 원의 중심에 대한 관성계에 속한 관측자는 B이고 이걸 관성계로 잡으면 A는 비관성계에 속해있고 공 또한 그래요. 이때 B가 관측하는 구심력

$$\vb{F}_c=M\vb{r}\omega^2$$

은 진짜 힘이 되요. 그런데 A의 입장에서는 공이 정지해있기 때문에 다음과 같지요.

$$\vb{F}_\mathrm{appt}=\vb{F}_c+\vb{F}_i=\vb{0}$$

따라서 관성력은 $\vb{F}_i=-\vb{F}_c$이에요. 이 결론은 A가 관측하기에 공은 구심력의 반대방향으로 힘을 받는 것처럼 보이지요. 우리는 이 힘을 원심력이라고 해요. 즉, 원심력은 절대 어떤 상호작용에 의해 발생되는 힘이 아니며 관성계-비관성계의 고찰에 의해 나온 가상의 힘이에요.