속도의 함수인 힘이 작용하는 운동의 분석

1. 작용하는 힘이 상수. $F=\mathrm{constant}$
2. 작용하는 힘이 시간의 함수. $F=F(t)$
3. 작용하는 힘이 속도의 함수. $F=F(v)$
4. 작용하는 힘이 위치의 함수. $F=F(x)$

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일반적인 식 유도하기

이번 글에서는 3번째 경우, 작용하는 힘이 속도의 함수인 경우를 다루어 볼 거예요. 이러한 예시는 유체에 의한 항력을 받는 물체에서 주로 관찰할 수 있는 상황이지요.

뉴턴의 운동법칙에서 식 (1)과 같이 시간의 함수인 힘 $F(v)$에 대해 쓸 수 있어요.

$$F(v)=m\dv{v}{t}\tag{1}$$

식 (1)에서 $\dv*{v}{t}$는 식 (2)와 같이 체인룰을 적용하고 $v=\dv*{x}{t}$를 대입해서 나타낼 수 있어요. (참고. 체인룰: $\dv{a}{b}=\dv{a}{v}\dv{v}{b}$)

$$F(v)=m\dv{v}{x}\dv{x}{t}=mv\dv{v}{x}\tag{2}$$

$F(v)$를 알 수 있다면 운동을 분석하기 위해 식 (1)과 식 (2)를 풀 수 있어요. 즉, $x$를 $t$의 함수로 나타낼 수 있지요.

 

1. 식 (1)에서 출발하기

식 (1)을 변수분리하면

$$\dd t=m\frac{\dd v}{F(v)}$$

$t=0$에서 $v=v_0$, $t=t$에서 $v=v$이면 양변을 적분해서 식 (3)을 얻을 수 있어요.

$$t=m\int_{v_0}^{v}\frac{\dd v}{F(v)}\tag{3}$$

$F(v)$가 주어져 있다면 식 (3)을 풀어서 속도 $v$를 시간 $t$에 대한 함수로 표현할 수 있어요. 즉 $v(t)$를 구할 수 있지요. $v(t)$를 바탕으로 위치 $x$를 시간 $t$에 대한 함수로 풀어내는 것은 간단해요. 속도는 식 (4)와 같이 표현할 수 있어요.

$$v(t)=\dv{x}{t}\tag{4}$$

$$v(t)\dd t=\dd x$$

$t=0$에서 $x=x_0$, $t=t$에서 $x=x$로 두고 양변을 적분하면 식 (5)가 나와요.

$$x=x_0+\int_0^t v(t)\dd t\tag{5}$$

 

2. 식 (2)에서 출발하기

식 (2)를 변수분리를 해주면

$$\dd x=m\frac{v\dd v}{F(v)}$$

1에서와 같은 초기조건으로 적분하면 식 (6)이 나와요.

$$x=x_0+m\int_{v_0}^v\frac{v\dd v}{F(v)}\tag{6}$$

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예시로 이해하기 1

유체에 의한 항력(Drag force) $F_d$은 식 (7)과 같음이 알려져 있어요.

$$\vb{F}_d=-\frac{1}{2}\rho v^2 AC_d\vu{v}\tag{7}$$

$\vb{F}_d$: 항력

$\rho$: 유체의 밀도

$\vb{v}$: 유체에 대한 물체의 상대속도

$A$: 기준 면적

$C_d$: 항력 계수

 

식은 복잡하지만 $\vb{v}$를 제외한 나머지 모든 문자를 상수취급하고 유체의 흐름 방향과 물체의 운동 방향이 평행하면 항력은 식 (8)과 같이 간단히 표현할 수 있어요.

$$F_d=-kv^2\tag{8}$$

즉, 물체에 작용하는 힘 $F_d$는 물체의 속도의 함수인 셈이지요. 뉴턴의 운동법칙을 항력에 대해 적용하면 식 (9)가 나와요.

$$F_d=-kv^2=m\dv{v}{t}\tag{9}$$

식 (9)를 변수분리하고 적분하면 식 (10)이 나와요. ($\int \dd v/v^2=-1/v$)

$$\int_0^t \dd t=-\frac{m}{k}\int_{v_0}^v \frac{\dd v}{v^2}$$

$$t=-\frac{m}{k}\left(\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}\right)\tag{10}$$

식 (10)을 $v$에 대해 정리하면 식 (11)이 나와요.

$$v=\frac{mv_0}{kv_0t+m}\tag{11}$$

$v=\dv*{x}{t}$를 대입하고 변수분리하면

$$\dd x=\frac{mv_0}{kv_0t+m}\dd t$$

그리고 적분하면 식 (12)가 나와요.

$$x=x_0+\frac{m}{k}\ln{\left(\frac{k}{m}v_0t+1\right)}\tag{12}$$

여기서 사용한 부정적분은 다음과 같아요.

$$\int\frac{a}{bx+c}\dd x=\frac{a}{b}\int\frac{b}{bx+c}=\frac{a}{b}\ln{\left(bx+c\right)}$$

일반적으로 시간상수라고 불리는 $\tau$를 식 (13)과 같이 정의하곤 해요.

$$\tau=\frac{m}{k}\tag{13}$$

이를 사용해서 식 (12)를 간단히 쓰면 식 (14)가 나오지요.

$$x=x_0+\tau\ln{\left(\frac{v_0 t}{\tau}+1\right)}\tag{14}$$

또한 식 (11)에도 $\tau$를 도입할 수 있어요. 분모분자를 $k$로 나누고 $\tau=m/k$를 대입하면 식 (15)가 되지요.

$$v=\frac{\tau v_0}{v_0 t+\tau}\tag{15}$$

식 (14)와 식 (15)를 그래프로 그리면 각각 그래프 (1)과 그래프 (2)에요.

그래프 (1), 시간에 대한 위치의 함수

그래프 (2), 시간에 대한 속도의 함수

그래프 (1)은 시간이 지날 수록 기울기가 완만해지는, 그러니 속도가 느려지는 모습이고 이는 그래프 (2)에서도 확인할 수 있어요.

식 (14)와 식 (15)를 분석해보면 식 (14)(그래프 (1))는 로그함수, 식 (15)(그래프 (2))는 무리함수인데 이는 곧 물체는 충분한 시간동안 무한히 먼 거리를 이동할 수 있고, 물체의 속도는 어느 한 속도에 수렴함을 뜻합니다. 정확히 속도가 어디에 수렴하는지 알기 위해 식 (15)에 극한을 취하면 식 (16)이 돼요.

$$\displaystyle{\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{\tau v_0}{v_0 t+\tau}}}\tag{16}$$

식 (16)의 극한값은 자명히 0이지요. 즉 물체의 속력은 지속적으로 감소하여 0에 수렴합니다.

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예시로 이해하기 2

예시로 이해하기 1에서는 물체에 항력만이 작용하는 경우를 생각했지만 이번에는 항력에 더해 중력이 가해지는 경우를 생각해봐요. 이런 경우는 매우 흔한 경우에요. 공기저항을 무시하지 않는 물체의 낙하를 고려하면 공기저항에 의한 감속이 생기지요. 그리고 이는 종단속도(Terminal velocity)라는 독특한 현상을 만들어요.

 

질량 $m$인 물체가 지표에서 중력가속도 $g$에 의해 $t=0$에서 $v=v_0$, $x=x_0$에서부터 $t=t$까지 낙하합니다. 이때 물체는 식 (17)의 항력을 운동하는 방향의 반대방향으로 받습니다. 아랫방향이 +, 윗방향이 -이에요.

$$F_d=-kv$$

여기서는 속도의 지수가 1이에요. 유체역학의 스토스크 법칙에 의하면 물체가 매우 작거나 느리게 움직이는 경우 항력을 속도에 대한 일차식으로 근사할 수 있어요.

물체는 어떻게 운동할까요? 예시 1에서 다룬 내용이 많이 반복되니 이번에는 빠르게 나갈게요!

 

뉴턴의 운동법칙에서 식 (18)이 성립해요.

$$F_{\rm{net}}=mg-kv=m\dv{v}{t}\tag{18}$$

변수를 분리해주면

$$\dd t=\frac{m}{mg-kv}\dd v$$

적분하면 식 (19)가 나와요.

$$t=\int_{v_0}^{v}\frac{m}{mg-kv}\dd v$$

$$t=-\frac{m}{k}\ln{\left(\frac{mg-kv}{mg-kv_0}\right)}\tag{19}$$

식 (19)를 $v$에 대해 풀기 위해 양변의 값을 $e$의 지수로 올리고 정리하면 식 (20)이 나와요.

$$e^{-kt/m}=\frac{mg-kv}{mg-kv_0}$$

$$v=\frac{mg}{k}-\left(\frac{mg}{k}-v_0\right)e^{-kt/m}\tag{20}$$

식 (20)에 $v=\dv*{x}{t}$를 대입하고 변수를 분리해주면

$$\dd x=\frac{mg}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)\dd t$$

적분하면 식 (21)가 나와요.

$$x=x_0+\frac{mg}{k}t-\left(\frac{m^2g}{k^2}-\frac{mv_0}{k}\right)\left(1-e^{-kt/m}\right)\tag{21}$$

마찬가지로 식 (22)와 같이 $\tau$를 정의해서 식(20)과 식 (21)에 대입하면 각각 식 (23), 식(24)를 얻을 수 있어요.

$$\tau=\frac{m}{k}\tag{22}$$

$$v=\tau g-\left(\tau g-v_0\right)e^{-t/\tau}\tag{23}$$

$$x=x_0+\tau gt-\left(\tau^2g-\tau v_0\right)\left(1-e^{-t/\tau}\right)\tag{24}$$

이 두 식을 해석해봐요.

 

1. 종단속도(Terminal Velocity)

충분히 긴 시간이 흐른 후 물체의 속도는 어떻게 될까요? 이는 식 (23)에 극한을 취해서 알 수 있어요. 식 (23)에 극한을 취하면 식 (24)가 되요.

$$\displaystyle{\lim_{t\rightarrow\infty}{\left(\tau g-\left(\tau g-v_0\right)e^{-t/\tau}\right)}}\tag{25}$$

그런데 $t$가 무한대로 갈 때

$$\displaystyle{\lim_{t\rightarrow\infty}{e^{-t/\tau}}=0$$

이므로 식 (24)의 극한값은 식 (25)와 같아요.

$$v_t=\tau g=\frac{mg}{k}$$

즉, 시간이 흐를수록 물체의 속도는 어느 한 속도에 수렴해요. 이때 물체의 속도가 수렴하는 속도를 종단속도($v_t$)라고 해요. 종단속도는 물체가 받는 항력과 중력이 힘의 평형을 이루는 순간이라는 점에서 이상의 유도과정과는 무관하게 식 (26)과 같이 구할 수도 있어요.

$$mg-kv_t=0\tag{26}$$

종단속도에 다다른 물체는 더이상 가속되지 않고 일정한 속도로 낙하해요(물론, 이론적으로 물체는 결코 종단속도에 다다를 수 없어요. 종단속도에 다다르려면 무한한 시간이 흘러야 하거든요).

대표적으로 빗방울은 종단속도 덕분에 매우 높은 위치에서 떨어졌음에도 불구하고 파괴적인 수준으로 가속되지 않아요. 공기저항을 고려하지 않을 때 지면에서 빗방울의 속도는 158 m/s인데 비해 공기저항을 고려하면 빗방울의 종단속도인 9 m/s가 지면에서 속도이지요.

 

2. $t\approx 0$에서 식 (23), 식 (24)의 근사

테일러 급수(식 (27))를 사용하면 지수함수인 $y=e^x$의 함수를 $e\approx 0$에서 다항함수로 근사할 수 있어요.

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\tag{27}$$

우리의 경우에는 $x=-t/\tau$이니 $t\approx 0$에서 이 근사가 잘 맞아떨어져요. 또한 또한 테일러 급수를 대입할 때 1부터 일차항, 또는 이차항까지만 근사해도 우리가 원하는 범위에서 근삿값을 잘 구할 수 있지요. 우선 식 (23)에 테일러 급수를 대입해요. 그리고 $t \ll \tau$를 추가적으로 가정하면 식 (28)이 나와요.

$$v=\tau g-\left(\tau g-v_0\right)\left(1-\frac{t}{\tau}\right)$$

$$v=v_0+gt-\frac{t}{\tau}v_0$$

$$v=v_0+gt\tag{28}$$

마찬가지로 식 (24)에 대입하면 식 (29)가 나와요.

$$x=x_0+\tau gt-\left(\tau^2g-\tau v_0\right)\left(\frac{t}{\tau}-\frac{t^2}{2\tau^2}\right)$$

$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}g^2 t-\frac{v_0 t^2}{2\tau}$$

$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}g^2\tag{29}$$

식 (28)과 식 (29)는 매우 흥미로운 의미를 지니고 있어요. 두 식은 일정한 힘이 가해지는 운동에서의 속도, 위치의 식과 동일해요. 즉, 물체가 운동하기 시작한지 얼마 되지 않았다면 항력이 없고 중력만이 존재하는 조건으로 근사될 수 있다는 뜻이에요.

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결론

이번 글에서는 입자에 속도의 함수인 힘이 작용하는 경우를 알아봤어요. 일반적인 식을 구하기는 힘들지만 힘이 속도의 어떤 함수인지 명확하게 알면 적분을 통해 물체의 운동을 해석할 수 있었죠. 이 문제는 사실 굉장히 중요한 문제인데 유체 속에서 항력을 받는 물체의 경우 항력이 속도의 함수이기 때문이에요.

다음 글에서는 힘이 위치의 함수인 경우를 알아볼게요. 이 경우에는 굉장히 놀라운 일이 일어난답니다!